📐 一维末端距分布（折叠高斯）
# 高分子链：N 个链节，每节均方位移 b²# 某点 x 处的几率密度（高斯分布）：
Ω(x) = √( 3 / 2πNb² ) · exp( −3x² / 2Nb² )
# 末端距 r = |x| ≥ 0，折叠后（半正态）：
Ω(r) = √( 6 / πNb² ) · exp( −3r² / 2Nb² ) , r ≥ 0
# 均方末端距：⟨r²⟩ = Nb²/3 → r_rms = b√(N/3)
# 最可几末端距（一维）：r* = 0（原点概率密度最大）
参数设置 (1D)
就绪
📊 随机游走轨迹（步数 → 位置 x）
📈 末端距分布 Ω(r)（模拟 vs 理论）
// 统计结果
理论 ⟨r²⟩ = Nb²/3—
模拟 ⟨r²⟩—
理论 r_rms = b√(N/3)—
模拟 r_rms—
相对误差—
💡 物理意义：
Ω(x) 是高斯分布，r=|x| 折叠后在原点概率密度最大（r*=0）。均方末端距 ⟨r²⟩=Nb²/3，与三维情形的 x 分量 ⟨x²⟩=Nb²/3 完全一致——三维链的每个方向贡献相同，各占总 ⟨r²⟩=Nb² 的 1/3。
Ω(x) 是高斯分布，r=|x| 折叠后在原点概率密度最大（r*=0）。均方末端距 ⟨r²⟩=Nb²/3，与三维情形的 x 分量 ⟨x²⟩=Nb²/3 完全一致——三维链的每个方向贡献相同，各占总 ⟨r²⟩=Nb² 的 1/3。
📐 三维末端距分布（Maxwell 分布）
# 空间中某点 (x,y,z) 的几率密度（三维高斯）：Ω(x,y,z) = ( 3/2πNb² )^(3/2) · exp( −3(x²+y²+z²) / 2Nb² )
# 对球壳面积 4πr² 积分，得末端距 r 的几率密度：
Ω(r) = 4πr² · ( 3/2πNb² )^(3/2) · exp( −3r² / 2Nb² ) , r ≥ 0
# 最可几末端距：r* = b√(2N/3) （令 dΩ/dr = 0 求得）
# 均方末端距：⟨r²⟩ = Nb² → r_rms = b√N
# r=0 处 Ω(0)=0，因为球壳面积 4πr²→0
参数设置 (3D)
就绪
🧬 三维链构象（XY 与 XZ 双投影）
📈 球壳末端距分布 Ω(r)（模拟 vs 理论）
⚖️ 一维 vs 三维 Ω(r) 对比（理论曲线，归一化）
// 统计结果
理论 ⟨r²⟩ = Nb²—
模拟 ⟨r²⟩—
理论 r* = b√(2N/3)—
模拟最可几 r*—
理论 r_rms = b√N—
相对误差—
💡 物理意义：
三维分布 Ω(r) 乘以球壳面积 4πr²。原点处 Ω(r=0)=0（面积为零）， 随 r 增大，面积增长与高斯衰减竞争，在 r* = b√(2N/3) 处出现峰值。 这是高分子链团的最自然构型尺寸，也是熵弹性的物理根源。
三维分布 Ω(r) 乘以球壳面积 4πr²。原点处 Ω(r=0)=0（面积为零）， 随 r 增大，面积增长与高斯衰减竞争，在 r* = b√(2N/3) 处出现峰值。 这是高分子链团的最自然构型尺寸，也是熵弹性的物理根源。
📚 核心公式推导脉络
## 1. 一维高斯几率密度Ω(x) = √( 3/2πNb² ) · exp( −3x²/2Nb² )
# 对 x 积分归一化：∫Ω(x)dx = 1
## 2. 一维末端距（折叠高斯，r=|x|≥0）
Ω(r) = √( 6/πNb² ) · exp( −3r²/2Nb² ) r ≥ 0
# r* = 0 | ⟨r²⟩ = Nb²/3 | r_rms = b√(N/3)
## 3. 三维空间几率密度（各向同性高斯）
Ω(x,y,z) = ( 3/2πNb² )^(3/2) · exp( −3(x²+y²+z²)/2Nb² )
# = Ω(x)·Ω(y)·Ω(z)，三方向独立，各贡献 Nb²/3
## 4. 三维球壳积分→末端距分布（Maxwell）
Ω(r) = 4πr²·( 3/2πNb² )^(3/2) · exp( −3r²/2Nb² )
# r* = b√(2N/3) | ⟨r²⟩ = Nb² | r_rms = b√N
## 5. Boltzmann 熵
S(r) = k·ln Ω(r) + const = −3k·r²/(2Nb²) + const
## 6. 熵弹性回缩力（类胡克定律）
f = −T·dS/dr = 3kT·r / (Nb²)
# k_eff = 3kT/Nb²，正比于温度 T → 越热越硬
一维 vs 三维 关键量对比
| 维度 | 几率密度函数 | 最可几 r* | ⟨r²⟩ | r_rms |
|---|---|---|---|---|
| 1D | √(6/πNb²)·exp(−3r²/2Nb²) | 0 | Nb²/3 | b√(N/3) |
| 3D | 4πr²·(3/2πNb²)^(3/2)·exp(−3r²/2Nb²) | b√(2N/3) | Nb² | b√N |
📉 熵 S(r)、Ω(r) 与回缩力 f(r) 曲线（三维，N=100, b=1，归一化）
💡 为什么熵弹性像弹簧？
S(r) = −3k·r²/(2Nb²) + const，对 r 求导得线性回缩力 f = 3kT·r/Nb²， 与胡克弹簧 f=kr 形式完全一致。关键区别：弹性系数 k_eff = 3kT/Nb² 正比于温度 T。 这意味着橡皮筋越热越"硬"，与金属弹簧（能量弹性，越热越软）截然相反， 是高分子材料区别于金属的根本特征。
S(r) = −3k·r²/(2Nb²) + const，对 r 求导得线性回缩力 f = 3kT·r/Nb²， 与胡克弹簧 f=kr 形式完全一致。关键区别：弹性系数 k_eff = 3kT/Nb² 正比于温度 T。 这意味着橡皮筋越热越"硬"，与金属弹簧（能量弹性，越热越软）截然相反， 是高分子材料区别于金属的根本特征。